No, non devi spostare il dominio. Ogni provider ti offre la possibilita' di proteggere la privacy ma le modalita' variano non in funzione del provider ma in funzione dell'estensione.
Per i domini .it e' il registrante che nel firmare la LAR decide se rendere pubblici tutti i propri dati o meno; nome e cognome rimangono sempre visibili.
Per i domini .com.net .org esiste appunto il servizio di privacy protection che e' un servizio in piu' che puoi richiedere al tuo provider. Il servizio maschera i dati reali con dati fittizi
Chiedi al tuo provider e vedrai che chiunque sia offre tale servizio in alcuni casi anche gratuitamente.
La Privacy Protection puo' essere utile ai privati mentre preferisco vedere dati pubblici e trasperenti quando ho a che fare con aziende e professionisti.