Potresti provare a reinstallare il core di WP, poi riattivi i plugin uno alla volta, prima di fare ciò chiaramente fai backup sia dei file del sito e del db!
Magari prima chiedi col provider quando sarà disponibile PHP 7.4

Hai reinstallato il core di WP o semplicemente aggiornato WP? sono due cose diverse

Quello che hai fatto è reinstallare il core di WP, ricapitolando, plugin disinstallati tutti e problema rimane, reinstallato WP e problema rimane, prova a disattivare tutti i plugin e riattivarli uno ad uno ora che hai reinstallato WP, e vedi che succede, se non cambia nulla, prova a spiegare tutto al provider e chiederli, visto che ritiene che PHP non influisca, secondo lui da cosa dipende il problema

Giusto per non sapere ne leggere ne scrivere, installa uno alla volta, i plugin wordfence e sucurisecurity, e scansiona con questi plugin e vedi se evidenziano qualcosa di strano...poi lascia installato solo wordfence

@Granulati-Zandobbio mi permetto di suggerire un paio di cose:
1- a prescindere da tutto valuterei di cambiare hosting provider...non mi sembrano risposte molto serie quelle che ti han dato
2- provato qua: https://www.worcesterwebstudio.com/list-of-fixes-for-wordpress-site-health-status/ ?
3- dovresti provar ad eliminare problematiche piu a ritroso, quindi fare un clone del sito su un hosting esterno e vedere cosa succede
4- sicuri che non ci sono codici in functions.php che bloccano Site Health ?
5- sicuri che non ci siano plugin che limitano Site Health ?
6- si può avere un link per dare una occhiata?
7- la grafica sballata può essere di tutto, jquery migrate, altre plguin, il tema corrotto ecc. ma "due link a siti che non riguardano" magari significa che ti hanno bucato il sito ( non gli hacker che hanno altro da fare) e iniettato codice malevolo ( la butto li, visto in passato), al che hai provato a fare scansioni di sicurezza? sucuri check online, o installa plguin tipo ithems security o sucuri o wordfence ecc

Sinceramente anche io valuterei indipendentemente dalla problematica di cambiare hosting..se comunque ha reinstallato da zero il core di WP non ci dovrebbero essere problemi di sorta e poi dopo la reinstallazione riattivare i plugin uno ad uno..
Però la curiosità di aggiornare PHP all'ultima versione mi rimane..

Hai provato a fare una scansione con questo:
https://sitecheck.sucuri.net/

Se malware non ce n'è, i plugin disattivati tutti il probelma persiste, se sei sicuro che WP core sia ok, il tema è aggiornato, insomma... forse aggiornare PHP... non c'è certezza ma ripeto con tutti i se elencati, allora...

@Granulati-Zandobbio ok vediamo un po, licenza.html mettilo come falso positivo, lui cerca la versione inglese, è più o meno normale.

con scansione esterna sucuri https://sitecheck.sucuri.net/results/stonebox.it/it/. dice che stai usando una versione deprecata di apache... oltre che a php vecchio. Ora io non sono cosi esperto in sistemistica o gestione server, ma per esperienze passate di clienti vari, secondo me dovrebbero essere sempre aggiornati apache, mysql, php ecc e seguire per lo meno i requisiti di wordpress. non solo perche ne aumentano le prestazioni, ma soprattutto perche, almeno in teoria, chiudono tanti buchi di sicurezza

del link al tuo sito, l'unica cosa che non vedo a posto per ora è il fatto che non ha https , potrebbe forse provocare problemi interni ? al momento non saprei, bisognerebbe provare ..

potresti anche chiedere notizie al produttore del tema http://www.spicethemes.com sia mai che sia un problema loro?

comunque php 7.3.19 è un po datato ma non è 5.4. o 7.2

aime da frontend non si capisce se c'e' qualcosa che non va, la grafica sembra tutto ok, i link che hai rimosso dove stavano e che link erano?

@Granulati-Zandobbio eh,.... escludendo che qualcuno di voi sia entrato e per sbaglio abbia piazzato due link, lo deve aver fatto qualcos'altro, cosi su due piedi, certo che se quelli del provider fossero un pelino seri potrebbero guardare i log o i registri ( visto che voi non avete accesso) e vedere se è stato bucato ed inserito codice da esterni ecc... altro motivo per portare via tutto...

comunque vai su Cloudways, registri gratis un account trial (senza carta di credito), se non ricordo male dovresti poter creare un loto sottodominio di prova, poi usi il plugin Cloudways migrator sul tuo sito, e lo cloni su una app di prova di cloudwways e li ci fai tutti i test che vuoi su un ambiente sicuramente aggiornato. e poi vedi che succede !

Porta subito ad https! Al di la di ciò aggiorna tutto l'aggiornabile, PHP compreso!

Se non lo forniscono a questo punto meglio a mio avviso cmabiare hosting

Non hai altri siti sullo stesso hosting per verificare se si presenta lo stesso problema?
Non ricordo, hai provato a installare il sito in locale per vedere che succede?
Chiaramente a questo punto a distanza è difficile capire la situazione, anche se avendo reinstallato il core da zero se tutto è stato fatto bene, verificato che i plugin non lo provochino e nemmeno il tema, dovrebbe essere tutto ok, comunque sarebbe utile provare in locale e sullo stesso hosting un altro sito di test con una installazione nuova pulita di WP, io comunque cambierei hosting...