Ciao, sto riscontrando lo stesso problema.
Per risolverlo ho disattivato tutti i plugin ma ancora mi visualizza il messaggio, nonostante svuoto la cache.
Allora ho provato ad attivare un altro tema e ancora vede il problema.
Infine ho provato ad aggiornare manualmente wordpress, me lo ha aggiornato ma il problema si visualizza ancora.

Cos'altro posso fare?

Hai controllato la versione di PHP? Prova ad aggiornarla se non lo è.

Ho aggiornato la versione PHP alla 7.3, la 7.4 per il sistema operativo che abbiamo per ora non possiamo installarla.
Ma chi ci gestisci i server dice che non è un problema di PHP. Cos'altro posso provare? Non ho proprio più la scheda 'Aggiornamenti' nella bacheca wordpress.

Potresti provare a reinstallare il core di WP, poi riattivi i plugin uno alla volta, prima di fare ciò chiaramente fai backup sia dei file del sito e del db!
Magari prima chiedi col provider quando sarà disponibile PHP 7.4

Fatto ma ancora l'errore persiste. Abbiamo provato a saltellare da una versione all'altra di PHP e aggiornamenti wordpress ma ancora nessun risultato

Hai reinstallato il core di WP o semplicemente aggiornato WP? sono due cose diverse

Ti spiego cosa ho fatto perchè non saprei distinguere le due cose.
Ho scaricato la cartella zip di Wordpress 5.5.1, scompattata e tramite FTP, perchè solo da lì posso operare, ho sostituito il contenuto della cartella 'Wordpress 5.5.1' con quelli precedenti.
Se questa operazione riguarda solo l'aggiornamento, come posso reinstallare il core di Wordpress? Ho cercato in google ma spiega di far i passaggi fatti sopra

Quello che hai fatto è reinstallare il core di WP, ricapitolando, plugin disinstallati tutti e problema rimane, reinstallato WP e problema rimane, prova a disattivare tutti i plugin e riattivarli uno ad uno ora che hai reinstallato WP, e vedi che succede, se non cambia nulla, prova a spiegare tutto al provider e chiederli, visto che ritiene che PHP non influisca, secondo lui da cosa dipende il problema

Non si è espresso perchè sostiene che Wordpress l'ho installato io per cui in parole povere 'è un mio problema' secondo lui lato loro non c'è nulla che non va. Io mi sono accorta del problema solo dopo aver notato che la home improvvisamente aveva tutta la grafica sballata e nella pagina contatti c'erano due link a siti che non ci riguardano. Per cui ho pensato a un attacco hacker. Ma anche ripristinando database e contenuti sito a un mese fa il problema persiste.

Ho provato nuovamente a disattivare tutti i plugin e riattivarli uno alla volta, cancellando la cache ad ogni riattivazione....purtroppo ancora nulla.
Hai magari un suggerimento su cosa far controllare al provider?

Giusto per non sapere ne leggere ne scrivere, installa uno alla volta, i plugin wordfence e sucurisecurity, e scansiona con questi plugin e vedi se evidenziano qualcosa di strano...poi lascia installato solo wordfence

@Granulati-Zandobbio mi permetto di suggerire un paio di cose:
1- a prescindere da tutto valuterei di cambiare hosting provider...non mi sembrano risposte molto serie quelle che ti han dato
2- provato qua: https://www.worcesterwebstudio.com/list-of-fixes-for-wordpress-site-health-status/ ?
3- dovresti provar ad eliminare problematiche piu a ritroso, quindi fare un clone del sito su un hosting esterno e vedere cosa succede
4- sicuri che non ci sono codici in functions.php che bloccano Site Health ?
5- sicuri che non ci siano plugin che limitano Site Health ?
6- si può avere un link per dare una occhiata?
7- la grafica sballata può essere di tutto, jquery migrate, altre plguin, il tema corrotto ecc. ma "due link a siti che non riguardano" magari significa che ti hanno bucato il sito ( non gli hacker che hanno altro da fare) e iniettato codice malevolo ( la butto li, visto in passato), al che hai provato a fare scansioni di sicurezza? sucuri check online, o installa plguin tipo ithems security o sucuri o wordfence ecc

Sinceramente anche io valuterei indipendentemente dalla problematica di cambiare hosting..se comunque ha reinstallato da zero il core di WP non ci dovrebbero essere problemi di sorta e poi dopo la reinstallazione riattivare i plugin uno ad uno..
Però la curiosità di aggiornare PHP all'ultima versione mi rimane..

La curiosità dell'aggiornamento del PHP rimane anche a me ma ci fanno pagare mezza giornata perchè dovrebbero aggiornare anche il sistema operativo, per questo abbiamo optato per attendere.
Ho installato wordfence che non trova nulla, mentre Sucuri, che non ho mai usato, quindi sto cercando di imparare come si usa, mi da questo errore:
'Core WordPress Files Were Modified
We identified that some of your WordPress core files were modified. That might indicate a hack or a broken file on your installation. If you are experiencing other malware issues, please use a Server Side Scanner.
Review False Positives'

Ma poi come falsi positivi non me ne elenca nessuno. Ho per sicurezza, reistallato ancora una volta il core di Wordpress e ancora non cambia nulla.

Per rispondere a @shazarak avevo già controllato quella pagina, ma nulla.
Ho provato a guardare in functions.php ma non trovo niente che blocchi Site Health. Non ho molte conoscenze di php però purtroppo, quindi per quel che mi compete non ho trovato nulla.
Per i plugin, se fosse uno di loro, quando li ho disattivati tutti non avrei più dovuto vedere l'errore, invece appare lo stesso.

il sito è questo: stonebox.it (le due pagine che ho trovato diverse ora le ho sistemate)

Hai provato a fare una scansione con questo:
https://sitecheck.sucuri.net/

Se malware non ce n'è, i plugin disattivati tutti il probelma persiste, se sei sicuro che WP core sia ok, il tema è aggiornato, insomma... forse aggiornare PHP... non c'è certezza ma ripeto con tutti i se elencati, allora...

@Granulati-Zandobbio ok vediamo un po, licenza.html mettilo come falso positivo, lui cerca la versione inglese, è più o meno normale.

con scansione esterna sucuri https://sitecheck.sucuri.net/results/stonebox.it/it/. dice che stai usando una versione deprecata di apache... oltre che a php vecchio. Ora io non sono cosi esperto in sistemistica o gestione server, ma per esperienze passate di clienti vari, secondo me dovrebbero essere sempre aggiornati apache, mysql, php ecc e seguire per lo meno i requisiti di wordpress. non solo perche ne aumentano le prestazioni, ma soprattutto perche, almeno in teoria, chiudono tanti buchi di sicurezza

del link al tuo sito, l'unica cosa che non vedo a posto per ora è il fatto che non ha https , potrebbe forse provocare problemi interni ? al momento non saprei, bisognerebbe provare ..

potresti anche chiedere notizie al produttore del tema http://www.spicethemes.com sia mai che sia un problema loro?

comunque php 7.3.19 è un po datato ma non è 5.4. o 7.2

aime da frontend non si capisce se c'e' qualcosa che non va, la grafica sembra tutto ok, i link che hai rimosso dove stavano e che link erano?

questi i due link trovati nella pagina contatti.

Comunque vi ringrazio davvero tanto per il supporto, farò presente ai miei responsabili che abbiamo bisogno di un aggiornamento Apache e PHP a questo punto.
Poi vi farò sapere, grazie ancora

@Granulati-Zandobbio eh,.... escludendo che qualcuno di voi sia entrato e per sbaglio abbia piazzato due link, lo deve aver fatto qualcos'altro, cosi su due piedi, certo che se quelli del provider fossero un pelino seri potrebbero guardare i log o i registri ( visto che voi non avete accesso) e vedere se è stato bucato ed inserito codice da esterni ecc... altro motivo per portare via tutto...

comunque vai su Cloudways, registri gratis un account trial (senza carta di credito), se non ricordo male dovresti poter creare un loto sottodominio di prova, poi usi il plugin Cloudways migrator sul tuo sito, e lo cloni su una app di prova di cloudwways e li ci fai tutti i test che vuoi su un ambiente sicuramente aggiornato. e poi vedi che succede !

Porta subito ad https! Al di la di ciò aggiorna tutto l'aggiornabile, PHP compreso!

Se non lo forniscono a questo punto meglio a mio avviso cmabiare hosting