Prova il plugin WP mail SMTP. Di base è gratuito e puoi fare un test di invio direttamente dal plugin verso un indirizzo email che decidi tu. Se poi vuoi usare altre funzioni extra devi acquistarlo.
A volte basta settare correttamente "From Email" e "From Name" con l'email del domino dove è installato wordpress e il nome ufficiale del sito/azienda/ONG + attivare il "Set the return-path to match the From Email".
Oltre questo dovresti controllare se sul tuo hosting hai il mail del php configurato correttamente e magari se hai la possibilità attiva l'SPF e il DKIM che migliorano di molto la deliverability delle email.
A male estremi potresti usare un servizio email esterno come mailgun (mi sembra che è gratuito fino a un certo numero di email) o altri servizi per le email transazionali tipo Amazon SES.