Primo appunto: nell'input dove inserire il link non c'è il type!
Poi il problema vero e proprio: così come hai scritto il link dentro il tag img, ti stamperà $nome, il quale non è il link ma una stringa.
Quando non capisci, carica la pagina nel browser, tasto destro, mostra codice (o qualcosa di simile) e vai a vedere dove può essere il problema.
Metti questo:
[PHP]<img scr="<?=$nome?>" />[/PHP]
è la versione abbreviata di echo...
In questo modo stampi la variabile, non una stringa ("stringa")