Ho installato la 1.8.2
Dovrei aver fatto il trasferimento in modo corretto, infatti il sito funziona. Mi ha segnalato subito l'aggiornamento alla versione 3.3.1 (il backup lo avevo fatto prima di aggiornare infatti). Purtroppo non mi segnala niente per le estensioni.
Inoltre non c'è più l'avviso per la cartella temporanea, a quanto pare non era questo il problema.

A quale santo devo votarmi per risolvere?

Ciao elvis86,
indica per piacere:

• versione di Joomla completa (es. 3.3.1)
• versione di php in locale
• versione di php su hosting
• se hai già controllato che i due seguenti plugin siano attivi:

1. Quick Icon - Joomla! Update Notification
2. Quick Icon - Joomla! Extensions Updates Notification

Ciao FDA, ecco le informazioni:

• Joomla 3.3.1 (sia in locale che in remoto)
• php 5.4.x su hosting
• php 5.4.27 in locale (xampp 1.8.2)
• appena controllati i due plugin e risultano attivi sia in locale che in remoto

Il sistema di notifica degli aggiornamenti del CMS funziona, quello delle estensioni/plugin invece no.
Quando lavoravo in locale, prima di fare il trasferimento a gennaio, funzionavano entrambi

Ok, allora non dipende dal php e neppure dalla disattivazione dei plugin.
C'è il dubbio che non esistano estensioni "aggiornabili", puoi verificare installando una versione non aggiornata di un'estensione che è compatibile con l'update manager di Joomla (non tutte lo sono). Procediamo per esclusione.

elvis86,
cerca nel file php.ini qualcosa del genere (ovviamente vale soltanto l'ultima riga):

; Temporary directory for HTTP uploaded files (will use system default if not
; specified).
; http://php.net/upload-tmp-dir
upload_tmp_dir="C:\xampp\tmp"

dove chiaramente il percorso è quello locale di xampp, mentre su un hosting ne avrai un altro. Se nel php.ini non trovi questo allora forse abbiamo individuato il problema.

Allora procediamo prima con questa seconda soluzione.
In locale, nel file php.ini, quella voce è presente ed è proprio in quel modo.

In remoto ho accesso solo ad alcune impostazioni che ti elenco di seguito:

memory_limit
max_execution_time
max_input_time
post_max_size
upload_max_filesize

Impostazioni comuni

include_path
session.save_path
mail.force_extra_parameters
register_globals
open_basedir
error_reporting
display_errors
log_errors
allow_url_fopen
file_uploads
short_open_tag

E *session.save_path *come sta? Lo leggi anche da Joomla in php information.
Da qui leggi pure upload_tmp_dir.

Leggendo da PHP information di Joomla:*
In locale:
*session.save_path = C:\xampp\tmp (sia su local value che su master value)
upload_tmp_dir = C:\xampp\tmp (sia su local value che su master value)

*In remoto:
*session.save_path = no value (sia su local value che su master value) nelle impostazioni del pannello plesk è impostato su predefinito
upload_tmp_dir = no value (sia su local value che su master value) nelle impostazioni del pannello plesk non vedo questa voce

Questa dovrebbe essere la cartella temporanea che manca al PHP (come dice il messaggio), puoi controllare tutto dal back and di Joomla andando in menu superiore > system > system information > php information > scorri l'elenco fino alle voci del CORE di PHP e trovi upload_tmp_dir, mentre l'altra si trova un po' più giù in SESSION.

Non so se sia questo il problema, ma io lo farei presente al fornitore dell'hosting.

Non avevo letto "local value e master value" ... perfetto, dicevo questo. Quindi per Joomla non c'è il valore di upload_tmp_dir e questo potrebbe essere il problema.

Però non dovrebbe essere questo il problema perchè in locale l'avviso non c'è più ma aggiornamenti non me ne da comunque.
Il gantry framework che ho installato è alla versione 4.1.20, mentre sul loro sito è presente la 4.1.24; quando lavoravo in locale mi ricordo che mi segnalava sempre gli aggiornamenti di gantry. Pure quando entravo nella gestione template, c'è un riquadro che indica la versione di gantry e dice se è l'ultima disponibile. Anche qui mi indica la 4.1.20 e mi dice che è l'ultima.

Se vuoi posso provare ad installare un'estensione in locale (così non sporco il sito online) non aggiornata, così vediamo se mi trova l'aggiornamento. Mi sapresti dire quale posso installare? Non so quali siano compatibili e quali no.

EDIT: ho scritto questo post prima di leggere il tuo (l'ultimo)

Ho appena fatto una prova confrontando su Joomla 3.3.1 in:

• locale (XAMPP) con i valori: upload_tmp_dir = C:\xampp\tmp e session.save_path = C:\xampp\tmp
  e
• remoto (HOSTING) con i valori: upload_tmp_dir = no value e session.save_path = no value

Ho provato a installare su entrambi l'estensione K2 versione 2.6.7, mentre l'ultima è la 2.6.8: in entrambi i casi mi è stato notificato l'update alla 2.6.8.

Ok quindi non è quello il problema.
Ho anche K2 sul mio sito, ho dovuto fare l'aggiornamento manualmente dalla 2.6.7 alla 2.6.8 perchè non me lo segnalava.

Come suggerimento ho trovato quello della cartella del PHP, che poi è in pratica il messaggio che hai postato qui. Se la mia prova esclude la cosa (come sembrerebbe)non so, dovremmo chiedere a un esperto di hosting linux.

Non ho un hosting su cui non va l'update, quindi non riesco a fare alcun confronto. Prova a confrontare tra locale e remoto (visto che a te remoto non aggiorna) le impostazioni dal PHP information. :bho:

Se trovo qualcosa ti avverto, ma anche tu aggiornaci.

Ma adesso nemmeno in locale mi aggiorna. In locale mi aggiornava solo prima di fare il trasferimento online ad inizio gennaio, da quel momento niente più. Purtroppo non so se ho sbagliato qualcosa perchè comunque ho seguito la procedura di Joomla e infatti il sito funziona perfettamente per tutto il resto.

AGGIORNAMENTO:
Ho acceso linux e sono venuto sulla versione del sito che avevo trasferito online; come per magia qui funziona tutto, mi da sia gli aggiornamenti del CMS sia quelli delle estensioni.
Il problema ora è capire cosa devo controllare.

AGGIORNAMENTO 2:
Sono andato in gestione estensioni, le ho selezionate tutte e ho fatto "pulisci cache"; è apparso un aggiornamento di acymailing starter alla versione 4.6.2 che però mi risulta già installato

Adesso ti funziona dove, su locale o remoto?

Praticamente, sia in locale che in remoto, sono andato in gestione estensioni, le ho selezionate tutte e ho fatto "pulisci cache". Torno nella home del backend e il sistema di notifica mi dice che è disponibile l'aggiornamento di un'estensione; questa estensione è acymailing starter versione 4.6.2 che in realtà io ho già installato con questa versione. Comunque faccio l'aggiornamento e un messaggio mi dice che è stato aggiornato correttamente.
Torno in gestione estensioni, riseleziono tutto, faccio pulisci cache e torno nella home del backend e nuovamente mi da un aggiornamento disponibile; vado a controllare ed è ancora acymailing starter versione 4.6.2.

EDIT: ho provato ad eliminare completamente questa estensione (acymailing starter) ma non è cambiato nulla.

Ciao elvis86,
non riesco a capire dove sia il problema. Anche qui potresti fare una prova con acymailing per vedere se la responsabilità è di quest'ultima.
La cosa da notare è che adesso il problema si presenta anche in locale, quindi c'è da credere che in qualche modo il sito si sia "corrotto", nel senso che da qualche parte c'è un errore.