i percorsi devono essere necessariamente simili a questi :

public $log_path = '/var/www/vhosts/dominio.ext/httpdocs/logs';
public $tmp_path = '/var/www/vhosts/dominio.ext/httpdocs/tmp';

cambieranno a seconda del tuo provider, ma deve essere il path assoluto altrimenti continuerà ad avere errori.

Si si i percorsi sono quelli, il file php mi da il percorso assoluto e poi io ho aggiunto "/logs" per la cartella LOGS e "/tmp" per la cartella TMP

Quindi anche qui è tutto corretto?

Pare di si, il problema potrebbe essere un'impostazione errata del php.ini ciò significa che il tuo provider non ha server ottimizzati per ospitare Joomla, oppure qualcosa è andato storto durante il trasferimento da locale a remoto, posso chiederti come hai effettuato il trasferimento ?

Non so se posso dire il nome del mio provider, chiedo conferma per questo. Comunque ho scelto un pacchetto apposta per joomla.
In caso li ricontatto e gli dico che ci sono problemi di impostazioni errate nel php.ini, e sicuramente mi chiederanno di essere più specifico rispetto al problema.

Il trasferimento è stato fatto da locale a remoto. Prima ho trasferito tutti i file tramite filezilla e in seguito ho importato il database. Praticamente ho seguito la guida di Joomla.

Prova ad usare Akeeba Backup anzichè farlo manualmente

La versione che ho in locale è di dicembre, sono cambiate parecchie cose da allora. Al momento ho solo la versione ufficiale online e qualche buckup che faccio di tanto in tanto sempre manualmente

EDIT:
vorrei fare una prova, dato che ho fatto da poco il backup, lo trasferisco in locale e vediamo se mi da gli aggiornamenti. Unico dubbio: prima lavoravo su linux, ma adesso vorrei rimanere su windows, quale versione di Xampp mi consigliate? Il sito è con joomla 3.3.x e uso php 5.4

Puoi provare la 1.83 l'ultima che funziona perfettamente, altrimenti puoi ripiegare sulla 1.82

Ho installato la 1.8.2
Dovrei aver fatto il trasferimento in modo corretto, infatti il sito funziona. Mi ha segnalato subito l'aggiornamento alla versione 3.3.1 (il backup lo avevo fatto prima di aggiornare infatti). Purtroppo non mi segnala niente per le estensioni.
Inoltre non c'è più l'avviso per la cartella temporanea, a quanto pare non era questo il problema.

A quale santo devo votarmi per risolvere?

Ciao elvis86,
indica per piacere:

• versione di Joomla completa (es. 3.3.1)
• versione di php in locale
• versione di php su hosting
• se hai già controllato che i due seguenti plugin siano attivi:

1. Quick Icon - Joomla! Update Notification
2. Quick Icon - Joomla! Extensions Updates Notification

Ciao FDA, ecco le informazioni:

• Joomla 3.3.1 (sia in locale che in remoto)
• php 5.4.x su hosting
• php 5.4.27 in locale (xampp 1.8.2)
• appena controllati i due plugin e risultano attivi sia in locale che in remoto

Il sistema di notifica degli aggiornamenti del CMS funziona, quello delle estensioni/plugin invece no.
Quando lavoravo in locale, prima di fare il trasferimento a gennaio, funzionavano entrambi

Ok, allora non dipende dal php e neppure dalla disattivazione dei plugin.
C'è il dubbio che non esistano estensioni "aggiornabili", puoi verificare installando una versione non aggiornata di un'estensione che è compatibile con l'update manager di Joomla (non tutte lo sono). Procediamo per esclusione.

elvis86,
cerca nel file php.ini qualcosa del genere (ovviamente vale soltanto l'ultima riga):

; Temporary directory for HTTP uploaded files (will use system default if not
; specified).
; http://php.net/upload-tmp-dir
upload_tmp_dir="C:\xampp\tmp"

dove chiaramente il percorso è quello locale di xampp, mentre su un hosting ne avrai un altro. Se nel php.ini non trovi questo allora forse abbiamo individuato il problema.

Allora procediamo prima con questa seconda soluzione.
In locale, nel file php.ini, quella voce è presente ed è proprio in quel modo.

In remoto ho accesso solo ad alcune impostazioni che ti elenco di seguito:

memory_limit
max_execution_time
max_input_time
post_max_size
upload_max_filesize

Impostazioni comuni

include_path
session.save_path
mail.force_extra_parameters
register_globals
open_basedir
error_reporting
display_errors
log_errors
allow_url_fopen
file_uploads
short_open_tag

E *session.save_path *come sta? Lo leggi anche da Joomla in php information.
Da qui leggi pure upload_tmp_dir.

Leggendo da PHP information di Joomla:*
In locale:
*session.save_path = C:\xampp\tmp (sia su local value che su master value)
upload_tmp_dir = C:\xampp\tmp (sia su local value che su master value)

*In remoto:
*session.save_path = no value (sia su local value che su master value) nelle impostazioni del pannello plesk è impostato su predefinito
upload_tmp_dir = no value (sia su local value che su master value) nelle impostazioni del pannello plesk non vedo questa voce

Questa dovrebbe essere la cartella temporanea che manca al PHP (come dice il messaggio), puoi controllare tutto dal back and di Joomla andando in menu superiore > system > system information > php information > scorri l'elenco fino alle voci del CORE di PHP e trovi upload_tmp_dir, mentre l'altra si trova un po' più giù in SESSION.

Non so se sia questo il problema, ma io lo farei presente al fornitore dell'hosting.

Non avevo letto "local value e master value" ... perfetto, dicevo questo. Quindi per Joomla non c'è il valore di upload_tmp_dir e questo potrebbe essere il problema.

Però non dovrebbe essere questo il problema perchè in locale l'avviso non c'è più ma aggiornamenti non me ne da comunque.
Il gantry framework che ho installato è alla versione 4.1.20, mentre sul loro sito è presente la 4.1.24; quando lavoravo in locale mi ricordo che mi segnalava sempre gli aggiornamenti di gantry. Pure quando entravo nella gestione template, c'è un riquadro che indica la versione di gantry e dice se è l'ultima disponibile. Anche qui mi indica la 4.1.20 e mi dice che è l'ultima.

Se vuoi posso provare ad installare un'estensione in locale (così non sporco il sito online) non aggiornata, così vediamo se mi trova l'aggiornamento. Mi sapresti dire quale posso installare? Non so quali siano compatibili e quali no.

EDIT: ho scritto questo post prima di leggere il tuo (l'ultimo)

Ho appena fatto una prova confrontando su Joomla 3.3.1 in:

• locale (XAMPP) con i valori: upload_tmp_dir = C:\xampp\tmp e session.save_path = C:\xampp\tmp
  e
• remoto (HOSTING) con i valori: upload_tmp_dir = no value e session.save_path = no value

Ho provato a installare su entrambi l'estensione K2 versione 2.6.7, mentre l'ultima è la 2.6.8: in entrambi i casi mi è stato notificato l'update alla 2.6.8.

Ok quindi non è quello il problema.
Ho anche K2 sul mio sito, ho dovuto fare l'aggiornamento manualmente dalla 2.6.7 alla 2.6.8 perchè non me lo segnalava.