Ciao

Se il sito e'stato per anni nell account Google Search Console del webmaster precedente devo chiedere a lui di cancellarlo e lo registro io sul mio Search Console?
Registra la GSC Proprietà Dominio del vecchio e del nuovo sito, e migra il sito anche da li. Trovi la procedura nelle impostazioni.

Questo influira' negativamente ?
No perchè il vecchio sito migrerà sul nuovo. Ma se il nuovo sito è, dal punto di vista Seo, peggio del vecchio, avrai un de posizionamento.