Il codice sta facendo esattamente quello che dovrebbe fare... sta funzionando!!
E' semplice: hai messo la stringa include("cookie.php");
NON dovevi metterla.
Leggi il mio ultimo messaggio: è scritto in grassetto e sottolineato!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!:?

Non è necessario... puoi eliminare il cookie ***svuotando la cache del browser ***(suppongo tu sappia come si fa.. è simile ad eliminare la cronologia).
A questo punto sarai di nuovo un utente "normale" ed il contavisite aumenterà.

Per essere escluso basta che visiti di nuovo la pagina cookie.php --> che ti salva il cookie nella memoria del browser ---> che ti fa escludere dal contavisite.

Tutto chiaro?
P.s. In questo modo puoi fare tutti i test che desideri in totale autonomia.

Fatto!!
Cliccato su home, storia e attivtà biologica.
P.s.
Carino il layout del sito... l'hai fatto tu da zero oppure ti sei appoggiato ad un template? Hai usato un cms?

Togli dalla funzione:
error_reporting (E_ALL);

Se ancora ti da errore prova a sostituire la stringa con:
if(empty($_COOKIE["contavisite"])) {

Fatto!!
Pagine: missione e produzione!!

Ciao!!
A questo punto dovresti aver compreso il funzionamento dei cookies, quindi dovresti riuscire a fare il debug autonomamente.
Se ancora non riesci a far funzionare il sistema puoi testare il sistema passo-passo in maniera moooolto veloce:

• Svuota la memoria del browser (cookies compresi)
  vedi qui per istruzioni su come eliminare cookies in chrome: support.google.com/chrome/answer/95647?hl=it
• visita 1 volta la pagina cookie.php
• apri l'elenco dei cookies del tuo browser e controlla che ci sia il tuo cookie (e che questo abbia la scadenza che hai impstato)

Ci vogliono 5 minuti... ma almeno SARAI SICURO CHE IL COOKIE FUNZIONA (o risolverai eventuali problemi).

Sistemata la questione "cookie" ti occuperai della seconda parte... anche lì ci vorranno 5 minuti per verificare il funzionamento corretto della condizione if.

Se hai ulteriori dubbi consulta il manuale php.net o w3schools.com

solo con Opera non funziona, ma non lo usa quasi nessuno
Il cookie deve essere usato SOLO ED ESCLUSIVAMENTE dagli amministratori del sito che vogliono che le loro visite NON vengano conteggiate!!!!!
Per questo il codice che imposta il cookie NON deve essere incluso/richiamato nelle pagine del tuo sito, altrimenti viene salvato nel browser di tutti quanti i visitatori e, di conseguenza, il contavisite non salirà mai!!

***Per questo, se sei l'unico webmaster/amministratore del sito, basta che il cookie ti funzioni con il TUO browser e BASTA!!! ***Tanto i "visitatori" NON devono usare il cookie!!

P.s.
Ho visitato il tuo sito... E' la volta buona? Hai risolto tutto??

Perché accetta solo 20anni?
Non so se ci sia un limite massimo, prova a consultare il manuale php su php.net

Però onestamente chi avrebbe esigenza di far durare un cookie più di 20 anni?? E' molto più probabile che tu cambi pc nel frattempo (o almeno una volta ti capiterà di formattare/svuotare la cache)!!!!

P.s. Se è tutto sistemato, scrivi "RISOLTO" come ultimo post. Inoltre potrebbe essere utile per altri se pubblicassi nell'ultimo mex la versione definitiva del codice che hai usato (contavisite compreso)!!