Ora carica "miocookie.php" sul web e visita 1 volta quella pagina.

Complimenti: a questo punto hai salvato con successo il cookie nel tuo browser!!!

Infine:
racchiudi il codice della funzione che aggiorna il database all'interno di questa funzione if:
[PHP]
if($_COOKIE["contavisite"]!=='a95er63s')
{
//script della funzione
}
[/PHP]

Fine!!

Segui alla LETTERA i miei ultimi 3 messaggi... non dovrebbe servire altro!!
Attenzione:*** RIBADISCO CHE IL CODICE DEL COOKIE NON DEVI METTERLO NELLO STESSO FILE DELLE FUNZIONI MA IN UNA PAGINA A PARTE... ALTRIMENTI OTTIENI L'EFFETTO CONTRARIO E TUTTI I VISITATORI VENGONO ESCLUSI!!!!!***
P.s.
Mi sembra che nel codice che aggiorna il database ci siano degli errori (parentesi dimenticate)

Il codice sta facendo esattamente quello che dovrebbe fare... sta funzionando!!
E' semplice: hai messo la stringa include("cookie.php");
NON dovevi metterla.
Leggi il mio ultimo messaggio: è scritto in grassetto e sottolineato!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!:?

Non è necessario... puoi eliminare il cookie ***svuotando la cache del browser ***(suppongo tu sappia come si fa.. è simile ad eliminare la cronologia).
A questo punto sarai di nuovo un utente "normale" ed il contavisite aumenterà.

Per essere escluso basta che visiti di nuovo la pagina cookie.php --> che ti salva il cookie nella memoria del browser ---> che ti fa escludere dal contavisite.

Tutto chiaro?
P.s. In questo modo puoi fare tutti i test che desideri in totale autonomia.

Fatto!!
Cliccato su home, storia e attivtà biologica.
P.s.
Carino il layout del sito... l'hai fatto tu da zero oppure ti sei appoggiato ad un template? Hai usato un cms?

Togli dalla funzione:
error_reporting (E_ALL);

Se ancora ti da errore prova a sostituire la stringa con:
if(empty($_COOKIE["contavisite"])) {

Fatto!!
Pagine: missione e produzione!!

Ciao!!
A questo punto dovresti aver compreso il funzionamento dei cookies, quindi dovresti riuscire a fare il debug autonomamente.
Se ancora non riesci a far funzionare il sistema puoi testare il sistema passo-passo in maniera moooolto veloce:

• Svuota la memoria del browser (cookies compresi)
  vedi qui per istruzioni su come eliminare cookies in chrome: support.google.com/chrome/answer/95647?hl=it
• visita 1 volta la pagina cookie.php
• apri l'elenco dei cookies del tuo browser e controlla che ci sia il tuo cookie (e che questo abbia la scadenza che hai impstato)

Ci vogliono 5 minuti... ma almeno SARAI SICURO CHE IL COOKIE FUNZIONA (o risolverai eventuali problemi).

Sistemata la questione "cookie" ti occuperai della seconda parte... anche lì ci vorranno 5 minuti per verificare il funzionamento corretto della condizione if.

Se hai ulteriori dubbi consulta il manuale php.net o w3schools.com