Un breve aggiornamento sugli ulteriori sviluppi per completare il quadro con tutte le informazioni.
L'assistenza mi ha spiegato che i loro nameserver non "parleranno" con quelli di enom ma saranno scelti a caso una volta gli uni e una volta gli altri (perciò in caso di down di uno dei due servizi qualche risposta potrebbe essere negativa lo stesso), e ha consigliato di sostituirli tutti o nessuno nelle impostazioni del pannello.
Così ho sostituito i nameserver di enom ai loro e a questo punto il sito è servito interamente dai nameserver di enom.
In pratica, alla fine ho solo affidato il servizio DNS a un provider diverso da quello che ha registrato il dominio. Può sembrare una differenza da poco ma in realtà rappresenta esattamente la soluzione che cercavo, tanto che me la sentirei di consigliarla.
Infatti in questo modo un eventuale down dei nameserver del provider che ha registrato il dominio non avrebbe conseguenze e d'altra parte un down dei nameserver realmente utilizzati, pur bloccando temporaneamente l'accessibilità dei siti, potrebbe essere facilmente risolto resettando i nameserver di default dal pannello del provider che ha registrato il dominio.
In conclusione, al costo di circa 5 euro all'anno mi sono messo al riparo dal rischio di ritrovarmi nella brutta situazione descritta all'inizio (brutta, fidatevi) coi siti irraggiungibili senza sapere se e quando torneranno online e senza poter fare nulla per migliorare le cose, che era lo scopo di questa discussione.