Esempio: miodominio.it

Se il record MX è:

MX mail.miodominio.it 10

Devi andare a modificare il record "A" corrispondente a mail.miodominio.it con l'IP del nuovo server.
In questo modo ruoterai SOLO la posta.
Nel tuo post inziale non hai parlato di PEC e dicevi:

Ho bisogno di trasferire il prima possibile tutto il mio sito www e tutte le mie email su un altro webhost.

Ma nessun problema.
Ciau!