Quindi hai già risolto

Allora non ho capito cosa vuoi ottenere.

Volevi mostrare una "X" nel campo di testo una volta digitato il campo? Quel codice è corretto.

In caso posta il link al sito.

Ciao,

le regole nel foglio di stile https://albenessereblog.altervista.org/wp-content/themes/donovan/style.css?ver=5.4 nascondono la X

Se rimuovi questa regola si vede, però devi anche spostare il button del form verso destra perché copre il X

input[type="search"]::-webkit-search-cancel-button,
input[type="search"]::-webkit-search-decoration {
    -webkit-appearance: none;
}

Sostituisci none con searchfield-cancel-button e risolvi.

Tema child = WP! Non ti saprei aiutare

Vedi se riesci tramite l'editor, ti basta anche inserire prima del tag di chiusura </head> il codice

[HTML]
<style>
input[type="search"]::-webkit-search-cancel-button,
input[type="search"]::-webkit-search-decoration {
-webkit-appearance: searchfield-cancel-button;
}
</style>
[/HTML]