Il problema di fondo è che nel doubleclick c'è il click!

<script>
function duplica(el)
{
	var obj = el.cloneNode(true);
	document.getElementById('lista').appendChild(obj);
}
function sposta(el)
{
	var obj = el.cloneNode(true);
	el.setAttribute('id','elimina');
	document.getElementById('lista').appendChild(obj);
	var obj_del = document.getElementById('elimina');
	document.getElementById('lista').removeChild(obj_del);	
}
</script>

<ul id='lista'>
	<li onClick="sposta(this);" onDblClick="duplica(this);">1li</li>
    <li onClick="sposta(this);" onDblClick="duplica(this);">2li</li>
    <li onClick="sposta(this);" onDblClick="duplica(this);">3li</li>
    <li onClick="sposta(this);" onDblClick="duplica(this);">4li</li>
    <li onClick="sposta(this);" onDblClick="duplica(this);">5li</li>
</li>

Di conseguenza con l'uso degli eventi in modo normale ti ritrovi a far funzionare bene il click, ma il doubleclick lo fa sull'elemento successivo nella lista, dato che il primo click l'ha fatto su un elemeno che è stato spostato in fondo alla pagina...

Sto lavorando per sistemare il problema!