Eppure continua a non funzionare e a restituirmi messaggi di errore.
Ripeto, il server su cui gira il sito non è abilitato ad inviare posta. Sarà per questo che non funziona?

[PHP]
$mail->SMTPAuth = true; // turn on SMTP authentication
$mail->Username = "tuouser"; // SMTP username
$mail->Password = "tuapassword"; // SMTP password
[/PHP]

[php]
require("class.phpmailer.php");
$mail = new PHPMailer();
$mail->IsSMTP(); // send via SMTP
$mail->Host = "mail.dominio.it"; // SMTP servers
$mail->SMTPAuth = false; // turn on SMTP authentication
$mail->Username = ""; // SMTP username
$mail->Password = ""; // SMTP password
$mail->From = "mittente@email.it";
$mail->FromName = "Paolo Rossi";
$mail->AddAddress(destinatario@email.it,"Nome destinatario");
//$mail->AddAddress("altro@gmail.com"); // optional name
//$mail->AddReplyTo("programmo@yahoo.it","Information");
$mail->WordWrap = 50; // set word wrap
$mail->AddAttachment($thefile); // attachment
//$mail->AddAttachment("/tmp/image.jpg", "new.jpg");
$mail->IsHTML(false); // send as HTML
$mail->Subject = "Messaggio di prova per l'invio e-mail dalo sito travelnostop";
$mail->Body = "Se ti arriva questo messaggio mi dai conferma?";
$mail->AltBody = "Questo è il corpo alternativo";
if(!$mail->Send())
{
echo "Errore nell'invio <p>";
echo "Mailer Error: " . $mail->ErrorInfo;
exit;
}
echo "Messaggio inviato correttamente";
[/php]

Il problema è che l'e-mail arriva solo ai destinatari che hanno un indirizzo e-mail con il mio stesso dominio.
Se destinatario ha l'indirizzo e-mail destinatario @ nomedominio .it, l'e-mail viene inviata; se il destinatario ha un indirizzo e-mail diverso (destinatario @ altrodominio . it) l'e-mail non parte e viene restituito un messaggio di errore.

Manca qualcosa da configurare?

Negli esempi che ho trovato su internet mi viene proposto di richiamare la classe class.phpmailer.php.
Apresto questo file vedo che ci sono una serie di impostazioni quali

[php]
public $From = 'root@localhost';
public $FromName = 'Root User';
public $Subject = '';
[/php]

Nel mio caso, ovvero dovendo inviare e-mail da un server diverso rispetto a quello dove risiede il sito, devo andare a configurare questo file?